一、特征值和特征向量

设$A$是$n$阶方阵，如果存在常数及非零$n$向量$x$，使得$Ax=\lambda x$，则$\lambda$称是矩阵$A$的特征值，$x$是$A$属于特征值$\lambda$的特征向量。给定$n$阶矩阵$A$，行列式

的结果是关于$\lambda$的一个多项式，成为矩阵$A$的特征多项式，该特征多项式构成的方程$|\lambda E-A|=0$称为矩阵$A$的特征方程。

定理：$n$阶矩阵$A$的$n$个特征值就是其特征方程$|\lambda E-A|=0$的$n$个跟${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,...,{\lambda }_n$；而$A$的属于特征值${\lambda }_i$的特征向量就是其次线性方程$({\lambda }_{i}E-A)x=0$的非零解。

例： 求$A=\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 4\end{array}\right|$的特征根和特征向量。

解：$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ 1& \lambda -4\end{array}\right|=(\lambda -1)(\lambda -4)+2=0$，解一元二次方程可得${\lambda }_i=2,{\lambda }_2=3$；

${\lambda }_1$对应的特征向量为$x$满足$({\lambda }_{i}E-A)x=0$，求得$x=k_1(2,-1{)}^T,k_1̸=0$
${\lambda }_2$对应的特征向量为$x$满足$({\lambda }_{i}E-A)x=0$，求得$x=k_2(1,-1{)}^T,k_2̸=0$

二、特征分解

特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：
$$A=Q\Sigma Q^{-1}$$
其中$Q$是这个矩阵$A$的特征向量组成的矩阵，正交矩阵是可逆的。$\Sigma =diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)$是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。
将$Q$的这$n$个特征向量标准化，即满足$||qi|{|}_2=1$, 或者说$q_i^T{w}_i=1$，此时$Q$的$n$个特征向量为标准正交基，满足$Q^{T}Q=I$，即$Q^T=Q-1$, 也就是说$Q$为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成
$$A=Q\Sigma Q^T$$

三、奇异值分解

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵$A$是一个$m\times n$的矩阵，那么我们定义矩阵$A$的SVD为：
$$A=U\Sigma V^T$$
其中$U$是一个$m\times m$的矩阵，$\Sigma$是一个$m\times n$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$是一个$n\times n$的矩阵。$U$和$V$都是酉矩阵，即满足$UTU=I,VTV=I$。

如何求$U,\Sigma ,V$

将$A$的转置和$A$做矩阵乘法，那么会得到$n\times n$的一个方阵$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方阵，那么就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$
这样就得到矩阵$A^{T}A$的$n$个特征值和对应的$n$个特征向量$v$了。将$A^{T}A$的所有特征向量组成一个$n\times n$的矩阵$V$，就是我们$SVD$公式里面的$V$矩阵了。

将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到$m\times m$的一个方阵$A{A}^T$。既然$A{A}^T$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$$
这样就可以得到矩阵$A{A}^T$的$m$个特征值和对应的$m$个特征向量$u$了。将$A{A}^T$的所有特征向量张成一个$m\times m$的矩阵$U$，就是我们$SVD$公式里面的$U$矩阵了。
$U$和$V$都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$\Sigma$。由于$\Sigma$除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值$\sigma$就可以了。
$$A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^{T}V\Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow A{v}_i={\sigma }_i{u}_i\Rightarrow {\sigma }_i=A{v}_i/u_i$$
这样可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$\Sigma$。