矩阵分解报告
1. 试验介绍
矩阵分解就是把原来的大矩阵，近似的分解成小矩阵的乘积，在实际推荐计算时不再使用大矩阵，而是使用分解得到的两个小矩阵。具体来说就是，假设用户物品的评分矩阵R是m乘n维，即一共有m个用户，n个物品。通过一套算法转化为两个矩阵P和Q,矩阵P的维度是m乘k，矩阵Q的维度是n乘k。上述内容即：
。
如下表所示，本试验采用5*4数据表格，每一行代表用户，每一列代表用户对该商品的评分（满分10分），其中“-”表示该用户没有对该商品进行评分。
| Commodity-1 | Commodity-2 | Commodity-3 | Commodity-4 | |
| User-1 | - | 10 | 5 | 7 |
| User-2 | 6 | 2 | 6 | 4 |
| User-3 | - | 7 | 9 | 10 |
| User-4 | 4 | 5 | - | 8 |
| User-5 | 9 | - | 5 | 4 |
再次使用大型电影评分矩阵数据集进行验证。
2. 算法介绍
2.1损失函数
损失函数使用原始评分矩阵R
和重构评分矩阵R
之间的误差的平方作为损失函数为了能够有较好的泛化能力，会在损失函数中加入正则项，以对参数进行约束，即：
eij2=Rij-Rij2+β2k=1K(P2+Q2)
最终，需要求解所有的非“-”项的损失之和的最小值：
minloss=Rij≠-eij2
对应关键代码：
2.2使用梯度下降法获得修正的p和q分量
求解损失函数的负梯度：
根据负梯度的方向更新变量：
对应关键代码：
3. 实验结果
如图1所示，经过5000步的训练loss呈现下降趋势，在500步左右已经开始收敛。如图2所示，R矩阵通过矩阵分解生成P矩阵和Q矩阵，根据生成的P矩阵和Q矩阵重新生成评价矩阵R_MF。
图1 损失曲线
图2 运行结果
电影评分数据集：
具体资料请前往百度网盘自取：
链接：https://pan.baidu.com/s/1coFpKs_fJVUbrTQUQpq1cg
提取码：bjx2
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